Permütasyon – Kombinasyon – Binom

[Amazonia]

PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM
I. PERMÜTASYON
A. SAYMANIN TEMEL KURALI
1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.

B. FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.
0! = 1 olarak tanımlanır.
1! = 1
2! = 1 . 2
.................
.................
.................
n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n
Ü n! = n . (n – 1)!
Ü (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir.
Ü n . n! = (n + 1)! – n!

C. TANIM
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r lipermütasyonları denir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,


Ü 1) P(n, n) = n!
2) P(n, 1) = n
3) P(n, n – 1) = n! dir.

D. TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.

n = n1 + n2 + n3 + ... + nr
olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :

(n – 1)! dir.


n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının
sayısı : (n > 2)



II. KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.
n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı



Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.




Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:


Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
a) Çizilebilecek doğru sayısı
b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir.
Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı
noktada kesişirler.
Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.

Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur.

Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim
noktası vardır.

III. BİNOM AÇILIMI
A. TANIM
n Î IN olmak üzere,

ifadesine binom açılımı denir.
Burada;

sayılarına binomun kat sayıları denir.

ifadelerinin her birine terim denir.
ifadesinde kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.

B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.
2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir.
3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.
4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
baştan (r + 1). terim :
sondan (r + 1). terim :


(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) ... dır.
Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir.


Ü n Î N+ olmak üzere,
(x + y)2n nin açılımında ortanca terim


Ü n Î IN+ olmak üzere,
açılımındaki sabit terim,

ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.

Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır.

Ü (a + b + c)n nin açılımında ak . br . cm li terimin kat sayısı;