Karmaşık Sayılar

a, b birer gerçel sayı ve i2 = -1 olmak üzere a + ib bişimindeki sayılara karmaşık (kompleks) sayılardenir ve Z = a + ib şeklinde gösterilir.
Karmaşık Sayılar Kümesi: (C)

Karmaşık sayıların oluşturduğu kümeye karmaşık sayılar kümesi denir ve C ile gösterilir.
C = { Z : Z = a + ib, a, b Î R, i2 = -1 }
Sanal Sayı Biriminin Kuvvetleri:

i2 = -1 ise i3 = i2.i ve i4 = (i2)2
= (-1).i = (-1)2
= -i = 1
n pozitif sayı olmak üzere, i4 = 1 ise i4n = 1 dir.
Buna göre,

  • i4n = 1
  • i4n+1 = i
  • i4n+2 = -1
  • i4n+3 = -i

ifadelerinde görüldüğü gibi i nin kuvvetlerinden 4 ün tamsayı katları atılır.
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere,
i61 - i83 + i74
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
i61 - i83 + i74 = i60+1 - i80+3 + i72+2
= i - i3 + i2
= i + i -1
= 2i - 1
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere,
i-2 + i-3 + i-4 + i-5
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
i-2 + i-3 + i-4 + i-5 = i-4+2 + i-4+1 + i-4+0 +i-8+3
= i2 + i1 + i0 + i3
= -1 + i + 1 -i
= 0
Karmaşık Sayının Gerçel İmajiner Kısmı:

Z = a + ib karmaşık sayısında, a ya karmaşık sayının gerçel (reel) kısmı denir ve Re(Z) ile gösterilir.
Z = a + ib ise Re(Z) = a
Z = a + ib karmaşık sayısında b ye karmaşık sayının sanal (imajiner) kısmı denir ve İm(Z) ile gösterilir.
Z = a + ib ise İm(Z) = b
Buna göre, Z = a + ib karmaşık sayısı Re(Z) = a ve İm(Z) = b olmak üzere,
Z = Re(Z) + i.İm(Z)
biçiminde de gösterilir.
Örnekler:

  • Z = 8 + 2i ise Re(Z) = 8, İm(Z) = 2
  • Z = -5i ise Re(Z) = 0, İm(Z) = -5
  • Z = 4 ise Re(Z) = 4, İm(Z) = 0

İki Karmaşık Sayının Eşitliği:

a, b, c ve d gerçel sayı ve i2 = -1 olmak üzere, iki karmaşık sayı Z1 = a + ib ve Z2 = c + id olsun.
Z1 = Z2
a + ib = c + id ise a = c ve b = d
İki karmaşık sayının eşit olabilmesi için gerçel kısımları ve reel kısımları ve sanal kısımları birbirine eşit olmalıdır.
Örnek:
i2 = -1 ve x ile y birer reel sayı olmak üzere,
Z1 = x -5i
Z2 = 2x - y + xi
Z1 = Z2 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır ?
Çözüm:
Z1 = Z2 ise x - 5i = 2x - y + xi
x = -5 ve x = 2x - y
y = x
y = -5
O halde, x + y = (-5) + (-5) = -10 dur.
Örnek:
i2 = -1 ve a ile b birer reel sayı olmak üzere,
2a - 3 + bi - 2i = b + 1 + ai + 4i
olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
Çözüm:
2a - 3 + bi - 2i = b + 1 + ai + 4i
2a -3 + i.(b - 2) = b + 1 + i(a + 4)
2a - 3 = b + 1 ve b - 2 = a + 4
2a - 3 = a + 6 + 1 b = a + 6
a = 10
a = 10 için b = a + 6
b = 16
O hade, a.b = 10.16 = 160 dır.
Karmaşık Düzlem

Karmaşık sayılar ile analitik düzlemin noktaları arasında bire bir ve örten bir eşleşme yapılabilir.
Bu eşleşmede a + ib karmaşık sayısına analitik düzlemde (a, b) noktası ve analitik düzlemdeki (a, b) noktasına da a + ib karmaşık sayısı karşılık gelir.
Karmaşık sayılarda bire bir eşlenen düzleme karmaşık düzlem denir.

  • a + ib sayısına (a, b) noktası, (a, b) noktasına da a + ib karmaşık sayısı karşılık gelir. Z = a + ib = (a, b)
  • 0 + 0i karmaşık sayısı O(0, 0) başlangıç noktasına karşılık gelir.
  • a + 0i karmaşık sayıları (a, 0) = a olduğundan analitik düzlemdeki x ekseni ile eşlenir ve x eksenine gerçel (reel) eksen denir.
  • 0 + bi karmaşık sayıları (0, b) = bi olduğundan analitik düzlemdeki y ekseni ile eşlenir ve y eksenine sanal (imajiner) eksen denir.

Karmaşık Sayının Eşleniği:

a, b gerçel sayı olmak üzere, a - ib karmaşık sayısına a + ib karmaşık sayısının eşleniği denir ve Z karmaşık sayısının eşleniği Z ile gösterilir.
Z = a + ib ise Z = a - ib
Örnekler:

  • Z = 1 + 2i sayısının eşleniği; Z = 1 - 2i
  • Z = -5 + 3i sayısının eşleniği; Z = -5 - 3i
  • Z = -8 sayısının eşleniği; Z = -8
  • Z = 4i sayısının eşleniği; Z = -4i

Uyarı: Z = a + ib karmaşık sayısının eşleniği bulunurken imajiner kısmının yani b nin işaretinin değiştiğine dikkat edelim.
Eşleniğin Özellikleri:

x ve y karmaşık sayılar olmak üzere,
x + y = x + y
x . y = x . y
x / y = x / y
(x ³n) = (x)³n
Örnek:
i2 = -1 ve x ile y birer reel sayı olmak üzere,
Z1 = 2x - 5 + 4i
Z2 = 4 - x + iy - 3i
Z1 = Z2 olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Z1 = 2x - 5 + 4i ise Z1 = 2x - 5 - 4i
Z1 = Z2
2x - 5 - 4i = 4 - x + iy - 3i
2x - 5 - 4i = 4 - x + i.(y - 3)
2x - 5 = 4 - x ve -4 = y - 3
x = 3 y = -1
O halde, x.y = 3.(-1) = -3 tür.
Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi:

a, b, c, d birer gerçel sayı olmak üzere,
Z1 = a + ib ve Z2 = c + id
olsun.

  • Z1 + Z2 = (a + c) + i(b + d)
  • Z1 - Z2 = (a - c) + i(b -d)

Örnek:
Z1 = 2 - i
Z2 = -3 + 2i
olduğuna göre 2Z1 - 3Z2 karmaşık sayısı kaçtır?
Çözüm:
2Z1 - 3Z2 = 2(2 - i) - 3(-3 + 2i)
= 4 - 2i + 9 - 6i
= 13 - 8i
Karmaşık Sayılarda Çarpma işlemi:

a, b, c, d birer gerçel sayı olmak üzere,
Z1 = a + ib ve Z2 = c + id olsun.
Z1.Z2 = (a + ib).(c + id)
= a.c + i.a.d + i.b.c + i2.b.d
= (a.c - b.d) + i(a.d + b.c)
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere,
Z1 = 1 - 2i
Z2 = 1 + 2i
olduğuna göre Z1.Z2 karmaşık sayısı kaçtır?
Çözüm:
Z1.Z2 = (1 - 2i).(1 + 2i)
= 1 + 2i - 2i - 4i2
= 1 + 4
= 5
Uyarı: Z = a + ib, Z = a - ib olmak üzere,
Z.Z = (a + ib).(a - ib) = a2 + b2
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere,
-3i(2 - i) + (1 - 2i).(1 + i)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
-3i(2 - i) + (1 - 2i).(1 + i) = -6i + 3i2 + 1 + i - 2i - 2i2
= -7i
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere,
(1 - i)6
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
(1 - i)6 = [(1 - i)2]3
= (1 -2i + i2)3
= (-2i)3
= (-2)3.i3
= -8.(-i)
= 8i