Düzlemde Nokta, Doğru ve Vektörler Konu Anlatımı

Bu yazıda 10. sınıf geometri müfredatında yer alan düzlemde nokta, doğru ve vektörler konusunu anlatacağız. Konuyu dikkatle takip ederseniz hem kavramları iyi anlar hem de konuyu iyi öğrenirsiniz.
Nokta, Doğru ve Düzlem Arasındaki İlişkiler

Nokta, doğru ve düzlem kavramlarının birbirleriyle olan ilişkilerini ele alalım.
İki Doğru Arasındaki İlişki


  1. İki doğrunun ara kesiti nokta ise doğruların doğrultuları farklıdır.
  2. İki doğrunun ara kesiti boş kümeyse bu doğrular paraleldir.
  3. İki doğrunun kesişimi kendileriyse doğrular çakışıktır yani aynıdır.


Tüm paralel doğrular aynı denklik sınıfındadır.

Doğru ile Düzlem Arasındaki İlişki


  • Bir doğru içinde bulduğu düzlemi iki parçaya ayırır. Bu parçalardan her biri yarı düzlemdir.
  • Bir düzlem ile bir doğrunun ara kesiti bir nokta ise doğru ile düzlem kesişir.
  • Bir düzlem ile bir doğrunun ara kesiti boş küme ise doğru düzleme paraleldir.
  • Bir düzlem ile doğrunun ara kesiti doğrunun kendisiyse doğru düzlemin içindedir.

Kapalı Yarı Doğru ve Açık Yarı Doğru

Sabit bir nokta ile başlayıp sonsuz sayıdaki noktalar ile düz olarak, sürekli tek yöne uzatılabilen, uzunluğu sınırsız, kalınlığı bulunmayan geometrik yapıya kapalı yarı doğru (ışın) denir. Başlangıç noktası dahil edilmediğinde ise açık yarı doğru ortaya çıkar.

Doğru Parçası

Farklı iki nokta ile bu noktalar arasında bulunan ve doğrudaş olan noktaların kümesi doğru parçası olarak isimlendirilir.
Bir Doğru Parçasının Doğrultusu (Taşıyıcısı)

Bir doğru parçasının doğrultusu yani taşıyıcısı üzerinde bulunduğu doğrunun doğrultusu ile aynıdır.

Yukarıdaki şekilde [AB] doğru parçasının doğrultusu AB doğrusunun doğrultusuyla aynıdır.
Aynı düzlemde bulunan iki doğrun doğrultuları farklı ise kesişirler. Fakat iki doğru parçasının doğrultuları farklı ise kesişmeyebilirler.

Bir doğru parçasının başlangıç ve bitim noktaları aynıysa buna nokta denir. Noktanın uzunluğu olmadığı için doğrultusu da yoktur.
Tüm noktalar aynı denklik sınıfındadır.

Düzlemde Doğru Parçaları ile Desen Oluşturma

Doğru parçaları ile desen oluşturmada aşağıdaki yollar takip edilir:

  • İki doğru parçası herhangi bir açı ile kesiştirilerek eksen oluşturulur.
  • Doğru parçalarının uzunlukları eşit ya da farklı olabilir. Doğru parçalarının uzunluk oranları altlarına yazılır.
  • Eksenler üzerinde eşit sayıda noktalar alınarak harflendirilir.
  • Ardışık harfler arasındaki uzaklık her doğru için kendi arasında sabittir.
  • Aynı harflerin temsil ettiği noktalar doğru parçası oluşturacak şekilde birleştirilerek desenler elde edilir.
  • Desen oluştuktan sonra harfler silinir. Elde edilen desenler farklı renklerde boyanarak değişik tasarımlar elde edilebilir.
  • Elde edilen deseni yansıtıp döndürerek ilginç görüntüler ortaya çıkarılabilir.


Yönlü Doğru Parçası

Uzunluğu, doğrultusu ve yönü olan doğru parçasına yönlü doğru parçası denir.
Işın ve yönlü doğru parçası farklı kavramlardır.

Yönlü doğru parçasının yönü olmasına rağmen bir bitiş noktası vardır. Ancak ışının bir bitiş noktası yoktur.
Vektörler

Düzlemde doğrultusu, yönü ve şiddeti olan doğru parçaları vektör olarak adlandırılır.

Şekilde AB ve CD eş yönlü doğru parçaları, AB ~ CD biçiminde gösterilir.
Yönlü doğru parçaları üzerinde tanımlanan "~" bağıntısı yansıyan, simetrik ve geçişken olduğundan bir denklik bağıntısıdır.
Bu denklik sınıfının her denklik sınıfı bir vektördür. Vektörler üzerinde bulundukları iki büyük harfle gösterildikleri gibi üzeri oklu tek bir küçük harfle de gösterilebilirler.
Bir vektör yön, doğrultu, uzunluk değişmeyecek şekilde aynı düzlemde yer değiştirebilir.

Yukarıdaki resimde aynı düzlemde bulunan denk vektörler gruplandırılmıştır. Bir vektörü hareket ettirerek ona denk başka bir vektörü elde ederiz.
Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör denir.
Başlangıç noktası ile bitiş noktası aynı olan vektöre sıfır vektörü denir. AA, BB ya da 0 şeklinde gösterilir.
Uzunlukları ve doğrultuları aynı, yönleri zıt olan vektörlere zıt vektörler denir. Zıt vektörlerin toplamı sıfır eder.
Başlangıçları aynı noktaya taşındığında aralarındaki açı 90 olan vektörlere dik vektörler denir.
Vektörlerde Toplama

Doğrultusu ve yönü aynı olan iki vektör toplanırken uzunluklar toplanır, doğrultu ve yön değişmez.

Doğrultusu aynı, yönü farklı iki vektör toplanırken uzunluklar çıkarılır. Bulunan vektörün yönü büyük olan vektörle aynı olur ve doğrultusu değişmez.

Doğrultuları farklı iki vektör toplanırken uç uca ekleme metodu veya paralelkenar metodu uygulanır.

Bir Vektörü Bir Reel Sayıyla Çarpma

Bir a vektörü ve K reel sayısı verilsin. Vektör ile sayı çarpılırken skaler çarpım kuralları uygulanır. Sayı negatif işaretliyse vektör de yön değiştirir. Farklı durumlarda ortaya çıkacak sonuçlar şunlardır:

  • K > 1 ise vektörün yönü değişmez, boyu artar.
  • 0 < K < 1 ise vektörün yönü değişmez, boyu azalır.
  • K < -1 ise vektörün yönü değişir, boyu artar.
  • K = -1 ise vektörün yönü değişir, boyu değişmez.
  • K = 0 ise vektörün yönü belirsiz, boyu 0 olur.

Vektörlerle çıkarma işlemi yaparken çıkarılacak vektörün yönü ters çevrilip toplanır.

Vektörlerle toplama ve çıkarmada geometrik bilgilerden faydalanılır.

Yukarıdaki görselde özel bir durumda karşımıza çıkan pratik bir toplama şekli gösterilmiştir.
Vektörlerin Lineer Bağımlılığı

Düzlemde biri diğerinin herhangi bir katı olarak yazılabilen vektörlere lineer bağımlı vektörler denir.

  • Doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır.
  • Doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsızdır.
  • Yönleri zıt olan iki vektör lineer bağımlıdır.

Bazen bir vektör diğer iki vektörün toplamıyla lineer bağımlıdır. Bu nedenle aynı düzlemde yer alan ikiden fazla vektör doğrultularına bakılmaksızın lineer bağımlıdır.
Vektörlerin Lineer Bileşimi

Reel sayılar kümesinde yer alan k1 ve k2 sayıları ve u ve v vektörleri olsun.
k1.u + k2.v vektörüne u ve v vektörlerinin lineer bileşimi denir.
Bir vektör aynı doğrultuda olan veya olmayan herhangi iki ya da daha fazla vektörün lineer bileşimi olarak yazılabilir.