Diziler Ve Seriler Diziler Ve Seriler Açýklamasý Diziler Ve Seriler Örnekleri

ARÝTMETÝK ve GEOMETRÝK DÝZÝLER SERÝLER
1. Aritmetik Dizi
A. TANIM
Ardýþýk iki terimin arasýndaki fark ayný sabit bir sayý olan dizilere aritmetik dizi denir. Diðer bir ifadeyle  n  N+ için an+1 – an = d olacak þekilde bir d  R varsa (an) dizisine aritmetik dizi d sayýsýna da ortak fark denir.
ÖRNEK
(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduðunu gösteriniz. Ortak farkýný bulunuz.

an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduðuna göre (an) ortak farký d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.
B. GENEL TERÝM
Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farký d = 1 olan bir aritmetik dizidir.
5
a1 = a1
a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
.............................. ..
an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir.
Demek ki aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir.
ÖRNEK
Ýlk terimi 8 ve ortak farký 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?
a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d
an = 8 + (n – 1) 2
an = 2n + 6’dýr.
C. ARÝTMETÝK DÝZÝNÝN ÖZELLÝKLERÝ
Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa ortak fark : d = ap – ak dir.
p - k
ÖRNEK
39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farký kaçtýr?
a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)
d = (22 – 19)/6
d = ½’ dir.

a ve b gibi iki sayý arasýna n tane terim yerleþtirilerek oluþturulan aritmetik dizinin ortak farký :
d = b – a dýr.
n + 1
ÖRNEK
- 8 ve 28 sayýlarý arasýna 8 tane terim yerleþtirilerek oluþturulan aritmetik dizinin ortak farký kaçtýr?

a = -8 b = 28 ve n = 8 olduðuna göre d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4
Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamý Sn ile gösterilirse
Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da
2
Sn = n (a1 + an) olur.
2
Bir aritmetik dizide her terim kendisinden eþit uzaklýkta iki terimin kendisinden eþit uzaklýktaki iki terimin aritmetik ortalamasýna eþittir. Diðer bir ifadeyle k<p iken
ap = ap – k +ap + k dýr.
2
ÖRNEK
19. terimi 42 ve 33. terimi 88 olan aritmetik dizinin 26. terimi kaçtýr?

a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduðu için
a26 = (a19+a33)/2
a26 = (42+88)/2
a26 = 65’tir.
GEOMETRÝK DÝZÝ
A. TANIM
Ardýþýk iki terimin oraný ayný sabit bir sayý olan dizilere geometrik dizi denir. Diðer bir ifadeyle
 n  N+ için an + 1 = r olacak þekilde bir r  R varsa (an) dizisine geometrik dizi r sayýsýna ortak
an
çarpan veya ortak oran denir.
ÖRNEK
(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduðunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanýný bulunuz.

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduðuna göre (an) ortak çarpaný r = 2 olan geometrik bir dizidir.
B. GENEL TERÝM
Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpaný r olsun. Bu durumda
a1 = a1
a2 = r.a1
a3 = r.a2 = r2.a1
a4 = r.a3 = r3.a1
Demek ki geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1.a1 veya an = rn – p.ap dir.
ÖRNEK
Ýlk terimi 14 ve ortak çarpaný ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 . a1
an = (1/2)n – 1 . 4
an = 23 - n
C. GEOMETRÝK DÝZÝNÝN ÖZELLÝKLERÝ
Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa ortak çarpan : rp – k = ap eþitliðinde bulunur.

ak
ÖRNEK
2. terimi 3/5 ve 5. terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpaný nedir?


a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2
r3 = 75/3/5
r3 = 125
r = 5 tir.


Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamý Sn ile gösterilirse Sn = a1.1 – rn olur.
1 – r
ÖRNEK
Ýlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamý 42 olan geometrik dizinin 3. terimi nedir?

a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 . (1 – r3)/(1 – r)

Bir geometrik dizide her terim kendisinden eþit uzaklýktaki iki terimin geometrik ortalamasýna eþittir. Diðer bir ifadeyle k < p ikenap = dýr.
ÖRNEK
3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?

a3 = ve a5 = (a3 . a7)1/2 6 = (3 . a7)1/2 36 = 3 . a7 a7 = 12’dir.
SONUÇ:
Sabit dizi ortak farký 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi ortak çarpaný 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi ortak çarpaný 1 olan geometrik bir dizidir. Yani sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.
ÖRNEK:
Bir geometrik dizinin ilk terimi x ortak çarpaný 6 n. terimi y’dir. Bu dizinin ilk n teriminin toplamýnýn x ve y’ye baðlý ifadesi aþaðýdakilerden hangisidir?

a1 = x r = 6 ve an = y olduðuna göre an = a1rn – 1 y = x.6n – 1 6n = 6y/x ... (*)
Sn = a1.(1 – rn)/(1 – r) = x . (1 – 6n)/(1 – 6) = x . (1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir.
SERÝLER
A. TANIM
• (an) reel terimli bir dizi olsun.
= a1+a2+a3+ ...+an + ... sonsuz toplamýna seri denir.
• an’e serinin genel terimi denir.
• Serinin ilk n teriminin topl******* oluþan Sn = a1+a2+a3+ ...+an toplamýna serinin n. kýsmi toplamý denir.
• (Sn) = (S1...S2...S3...Sn...) dizisine kýsmi toplamlar dizisi denir.
• a) (Sn) dizisi yakýnsak ise serisi de yakýnsaktýr ve serinin toplamý = lim Sn’ dir.
b) (Sn) dizisi ýraksak ise seriside ýraksaktýr.
• serisi yakýnsak ise lim an = 0’dýr. Bu ifadenin tersi doðru deðildir.Yani lim an = 0 iken serisi yakýnsak olmayabilir.
• lim an ï€*ï€*ise serisi ýraksaktýr.
ÖRNEK
2n/5-n serisi veriliyor. Serinin ýraksak olduðunu gösteriniz.

an = 2n/5-n = 2n.5n = 10n dir. lim an = lim 10n = ï‚¥ dur. lim an  0 olduðuna göre seri ýraksaktýr.






B. ARÝTMETÝK VE GEOMETRÝK SERÝLER
1. Aritmetik Seriler
(an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir. Aritmetik serinin kýsmi toplamý Sn = n (a1+a2)’dir. Aritmetik seri ýraksaktýr.
2
ÖRNEK
(n – 10)/20 serisi veriliyor. Serinin aritmetik seri olduðunu gösteriniz. Serinin kýsmi toplamýný bulunuz. Serinin ýraksak olduðunu gösteriniz.
 n  N+ için d = an +1 – an =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = 1/20 olduðu için seri aritmetik seridir.
a1 = -9/20 ve an = (n – 10)/20 olduðuna göre Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n –10)/20]
=n(n – 19)/40 = ï‚¥
olduðuna göre (Sn) kýsmi toplamlar dizisi ýraksaktýr. (Sn) kýsmi toplamlar dizisi ýraksak olduðu için sorulan seri ýraksaktýr.

2. Geometrik Seriler
(an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir. Geometrik serinin kýsmi toplamý Sn = a1.1-rn’dir.
1-r
a) |r| < 1 ise seri yakýnsaktýr ve serinin toplamý: = a1’dir.
1-r
b) |r| ï€*ise seri ýraksaktýr.

ÖRNEK

31-n serisi veriliyor.
Serinin geometrik seri olduðunu gösteriniz serinin kýsmi toplamýný bulunuz serinin yakýnsak olduðunu gösteriniz serinin toplamýný bulunuz.

 n  N+ için r = (an+1)/an = 31-(n+1)/31-n = 1/3 olduðu için seri geometrik seridir.

a1 = 1 ve r = 1/3 olduðuna göre
Sn = 1 . [1 – (1/3)n]/(1 – 1/3) = 3/2[1 – (1/3)n] dir.

r = 1/3 olduðuna göre |r| = |1/3| = 1/3 < 1 dir. Bunu için seri yakýnsaktýr.

Seri yakýnsak olduðuna göre toplamý 31 – n = a1/(1 – r) = 1/(1 – 1/3) = 3/2 dir.


6) DÝZÝLER VE SERÝLER
6.1. Reel sayý dizileri

a) Sonlu dizi
b) Sabit dizi
c) Eþit diziler
d) Diziler arasýnda iþlemler
e) Monoton diziler
f) Alt dizi
6.2. Dizilerin yakýnsaklýðý ve ýraksaklýðý
a. Bir noktanýn komþuluðu
b. Yakýnsak ve ýraksak diziler
c. Sýnýrlý diziler
d. Dizilerde limit
e. Bir dizinin alt ve üst limiti
1. Sýnýrlý Dizilerin Temel Özellikleri
2. Aritmetik ve Geometrik Diziler
3. Seriler
a. Kýsmi toplam kýsmi toplamlar dizisi
b. Yakýnsak ve ýraksak seriler
c. Aritmetik seri
d. Geometrik seri