A. TANIM

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.

A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.
İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨ , *, « gibi simgelerle gösterilir.

B. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

A kümesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özelliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özelliği

" a, b Î A için aDb nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi Dişlemine göre kapalıdır.

2. Değişme Özelliği

" a, b Î A için, aD b = bD a ise, Dişleminin değişme özelliği vardır.

3. Birleşme Özelliği

" a, b, c Î A için aD (bD c) = (Da b) Dc ise,D işleminin birleşme özelliği vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği

" x Î A için, xD e = e Dx = x ise, e ye Dişleminin etkisiz elemanı denir.

e Î A ise,D işlemine göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özelliği

Dişleminin etkisiz elemanı e olsun.

" a Î A için, aD b = bD a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir.

a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.

b Î A ise,D xişlemine göre A kümesi ters eleman özelliğine sahiptir.

* Birim elemanın tersi kendisine eşittir.
* Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.

6. Dağılma Özelliği

" a, b, c Î A için,

a * (bD c) = (a * b)D(a* c) ise,

* işlemininDişlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.

(aD b) * c = (a * c)D(b * c) ise,

* işleminin işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.
* işleminin D işlemi üzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa * işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

7. Yutan Eleman Özelliği

" x Î A için, xDi y = yDx = y olacak biçimde bir y varsa y ye Diişleminin yutan elemanı denir.

y Î A ise,D işlemine göre A kümesi yutan eleman özelliğine sahiptir.
Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.

C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

A = {a, b, c, d} kümesinde *¶ işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

Ü b * c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b *c nin sonucudur. Buna göre, b * c = a dır.

Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi * işlemine göre kapalıdır.

Ü Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, * işleminin değişme özelliği vardır.

Ü Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır.

Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.

D. MATEMATİK SİSTEMLER

1. Tanım

A, boş olmayan bir küme olmak üzere, * işlemi A da tanımlı olsun.

(A, *) ikilisine matematik sistem denir.

2. Grup

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı * işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi* işlemine göre bir gruptur.

1. A, * işlemine göre kapalıdır.
2. A üzerinde * işleminin birleşme özelliği vardır.
3. A üzerinde * işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
4. A üzerinde *işlemine göre her elemanın tersi vardır.

A üzerinde tanımlı * işleminin değişme özelliği de varsa (A,*) sistemi değişmeli gruptur.

3. Halka

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve * işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, *) sistemi bir halkadır.

1. (A, D) sistemi değişmeli gruptur.
2. A kümesi*işlemine göre kapalıdır.
3. *işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

Ü * işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, *) sistemi değişmeli halkadır.

Ü * işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, *) sistemine birim halka denir.